Модель сезонной составляющей. Рис. Результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна (параметр сглаживания равен 0,4)

(8)

(9)

Рис. Результаты аппроксимации и прогнозирования по адаптивной модели Брауна (параметр сглаживания равен 0,4)

Для полинома первой степени первые разности

Для полинома второй степени первые разности

Для полинома второй степени вторые разности

Свойст­ва полиномиальных кривых роста:

· от полинома высокого порядка можно путем расчета последовательных разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;

· значения разностей (приростов) для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции .

- линейная функция времени

Предварительный выбор кривых роста - метод характеристик при­роста:

  • исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простого скользящего среднего;
  • · вычисляются первые средние разности


    · вторые средние разности

    · производные величины

    Таблица

    Отбирают 2 – 4 кривых роста и определяют их параметры.

    Модели и методы авторегрессии.Вавторегрессионных (АР) моделях текущее значение процесса представляется как линейная комбинация предыдущих его значений и слу­чайной компоненты.

    Идентификация АР(n) модели состоит в определении ее порядка n. Одной из предпосылок построения модели этого типа является применение их к стационарному процессу. Поэтому в более широком смысле идентификация модели включает также выбор способа трансформации исходного ряда наблюдений, как правило, имеющего некоторую тенденцию, в стационарный (или близкий к нему) ряд. Один из наиболее распространенных способов решения этой проблемы — последовательное взятие разностей, т.е. переход от исходного ряда к ряду первых, а затем и вторых разностей.

    «Чистые» авторегрессионные процессы имеют плавно затухающую автокорреляционную функцию (АКФ). В этом случае в качестве порядка модели выбирается лаг, после которого все частные автокорреляционные функции (ЧАКФ) имеют незначительную величину. Однако на практике редко встречаются процессы, которые легко было бы идентифицировать. Поэтому порядок модели обычно определяется методом проб из нескольких альтернатив. В число кандидатов включаются модели, у которых порядок соответствует ЧАКФ, превышающей стандартное отклонение 1/N. При обработке разностных рядов иногда ориентируются на АКФ, выбирая модели, у которых порядок соответствует максимальному ее значению, при условии, что оно превышает стандартное отклонение.



    Ряды без тенденции, как правило, не представляют интереса для экономистов. АР - модели вообще не предназначены для описания процессов с тенденцией, однако они хорошо описывают колебания, что весьма важно для отображения развития неустойчивых показателей.

    Чтобы сделать возможным применение АР - моделей к процессам с тенденцией, на первом этапе формируют стационарный ряд, т. е. исключают тенденцию путем перехода от исходного временного ряда к ряду первых или вторых разностей :

    Например, ряд первых разностей формируется как ряд приростов, т. е. последовательным вычитанием двух соседних уровней. С учетом этого АР(n) — модель порядка n имеет вид:

    .

    Параметры этой модели вычисляются по МНК с учетом сложности модели либо методом адаптивной фильтрации (МАФ). В обоих случаях необходимо предварительно иден­тифицировать модель, т. е. правильно определить порядок разностного ряда d и порядок модели n.

    Простейшим способом определения наиболее подходящего разностного ряда является вычисление для каждого ряда (d = 0,1,2) его дисперсии, т. е. усредненной суммы квадратов расхождений его уровней со средним значением . Для дальнейшей обработки выбирается ряд, у которого величина этого показателя минимальна.

    Для идентификации порядка модели обычно используется автокорреляционная функция, значения которой определя­ются по формуле:

    , (4)

    где p — количество уровней стационарного ряда (p = N-d); т — номер коэффициента автокорреляции .



    В качестве порядка модели принимается номер коэффи­циента автокорреляции , имеющего максимальную ве­личину. Следовательно, в модели используются n уровней, которые оказывают на текущий уровень наибольшее влияние. В соответствии с МНК формируется система из n уравнений, которая в компактной форме имеет вид:

    Например, для n = 2 система принимает вид:

    (5)

    В (5) суммирование проводится по t в пределах от 3 до p = N - d. Решив эту систему уравнений, получают числовое значе­ние . Оценка свободного члена получается из со­отношения:

    .

    На основе построенной модели вычисляют прогнозное значение разностного ряда Z(n+k) на k шагов вперед, а от него переходят к прогнозной оценке исходного ряда.

    Так, для d = 1 имеем:

    при ,

    при .

    Следовательно, прогнозные оценки базируются как на фактических, так и на полученных прогнозных уровнях ряда. Доверительный интервал прогноза рассчитывается на основе точечного прогноза:

    верхняя граница прогноза Z(N+k) + U(k),

    нижняя граница прогноза Z(N+k) - U(k).

    Величина U(k) рассчитывается по формуле:

    ,

    где - СКО, вычисленное с учетом сложности АР(n)- модели; - коэффициент, соответствующий табличному значению статистики Стьюдента с выбранным уровнем зна­чимости ; коэффициент под квадратным корнем рассчиты­вается рекуррентно, причем при величина С(0) = 1, а при

    .

    В методе адаптивной фильтрации используется АР(n)-модель без свободного члена. Ее параметры корректируются на j-й ите­рации в каждый момент времени t следующим образом:

    ,

    где и - векторы новых и старых значений параметров (весов) модели; w - константа обучения, определяющая скорость адаптации параметров модели ; e(t) - ошибка прогнозирования уровня Y(t).

    Алгоритм построения модели прогнозирования состоит в следующем. На первой итерации (j = 1) на основе начально­го набора весов и первых n уровней ряда вычисляется и его расхождение с фактическим уровнем, т.е. , . Подставляя величину ошибки в уравнение кор­ректировки весов, получают новый набор весов для следую­щего момента времени t = р+2. Далее эта процедура повто­ряется для следующих n-наборов , каждый из которых образован из предыдущего исключением первого и добавлением одного нового уровня ряда. Если на итерации j оптимальные веса не получены, то на следующей итерации надо вернуться к первому набору уровней ряда , но уже с новыми началь­ными весами, взятыми от предыдущей итерации.

    Определение начальных весов осуществляется путем ре­шения уравнения Юла—Уокера, составленного на основе ко­эффициентов автокорреляции. Процедура корректировки параметров заканчивается, когда среднеквадратическая ошибка перестает существенно убывать или при достижении заданного максимального количества итераций.

    Пример 4. Рассмотрим построение прогноза на основе мо­делей авторегрессии. Ниже в табл. 5.8 и 5.9 приведены рас­четы построения прогноза курса немецкой марки, выпол­ненные с использованием программы ОЛИМП; при этом в качестве лучшей модели из всего класса адаптивных моде­лей, реализованных в программе, выбрана авторегрессион­ная модель. На рис. 5.2 представлены результаты аппрокси­мации и прогнозирования по этой модели.

    Таблица 5.8. Модель временного ряда «Немецкая марка» Лучшая модель АР( 1,1)

    Модель
    АР(1,1) 3,088 -0,248

    Таблица остатков

    Номер Факт Расчет Ошибка абсолютная Ошибка относительная

    3 3354,000 3369,699 -15,699 -0,468

    4 3364,000 3412,840 -48,840 -1,452

    5 3418,000 3489,226 -71,226 -2,084

    6 3392,000 3519,090 -127,090 -3,747

    7 3380,000 3274,064 105,936 3,134

    8 3406,000 3381,294 24,706 0,725

    9 3394,000 3448,631 -54,631 -1,610

    10 3409,000 3373,294 35,706 1,047

    10 3410,000 3443,665 -33,665 -0,987

    11 3425,000 3429,435 -4,435 -0,129

    12 3409,000 3425,665 -16,665 -0,489

    13 3415,000 3357,942 57,058 1,671

    14 3416,000 3421,874 -5,874 -0,172

    15 3402,000 3377,435 24,565 0,722

    16 3387,000 3315,118 71,882 2,122

    17 3391,000 3335,030 55,970 1,651

    18 3390,000 3387,699 2,301 0,068

    Характеристики остатков

    Характеристика Значение

    Среднее значение 0,000

    Дисперсия 3151,663 _______________________________________________ Средний модуль остатков 44,485____

    Относительная ошибка 1,310

    Критерий Дарбина-Уотсона 1,901

    Коэффициент детерминации 1,000

    F-значение ( ) 54932,906

    Уравнение значимо с вероятностью 0,95

    Таблица 5.9. Таблица прогнозов (P=0,8)

    Упреждение Прогноз Нижняя граница Верхняя граница
    3406,740 3329,916 3483,565
    3368,701 3288,109 3449,293
    3499,812 3411,373 3588,251

    Прогнозирование курса немецкой марки по авторегрес­сионной модели:

    Рис. 5.2. Результаты аппроксимации и прогнозирования по авторегрессионной модели (1,1)


    4787688949053753.html
    4787739273238728.html
        PR.RU™